Здесь — гамма-функция; в частности, Г(п + 1) = п! .
Следовательно, распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы k.
Замечание 1. С увеличением числа степеней свободы распределение «хи-квадрат» постепенно приближается к нормальному.
Замечание 2. С помощью распределения «хи-квадрат» определяются многие другие распреде-ления, встречающиеся на практике, например, распределение случайной величины — длины случайного вектора (Х1, Х2,…, Хп), координаты которого независимы и распределены по нормальному закону.
Впервые ?2-распределение было рассмотрено Р.Хельмертом (1876) и К.Пирсоном (1900).
Мат.ожид.=n; D=2n
7. Распределе?ние Фи?шера
Распределе?ние Фи?шера в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.
Пусть V и W – независимые СВ, распределенные по закону ?2 со степенями свободы v1 = m и v2 = n соответственно. Тогда величина
(22)
имеет распределение Фишера со степенями свободы v1 = m и v2 = n (F ~ Fm,n). Таким образом, распределение Фишера F определяется двумя параметрами – числами степеней свободы mиn.
При больших m и n это распределение приближается к нормальному (рис.5). Нетрудно заметить, что Tn2 = F1,n, где Tn – СВ, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = n, F1,n – СВ, имеющая распределение Фишера с числами степеней свободы v1 = 1 и v2 = n.
Рис.5. График функции плотности вероятности СВ Х, имеющий распределение Фишера.
Распределение Фишера используется при проверке статистических гипотез в дисперсионном и регрессионном анализах. При этом активно используется таблица критических точек распределения Фишера.
8. t-распределение Стьюдента — это непрерывное одномерное распределение с одним параметром — количеством степеней свободы. Форма распределения Стьюдента похожа на форму нормального распределения (чем больше число степеней свободы, тем ближе распределение к нормальному). Отличием является то, что хвосты распределения Стьюдента медленнее стремятся к нулю, чем хвосты нормального распределения.
Обычно распределение Стьюдента появляется в задачах, связанных с оценкой математического ожидания нормально распределенных случайных величин. Пусть X1 , …, Xn — независимые случайные величины, нормально распределенные с математическим ожиданием ? и дисперсией ? 2. Тогда мы можем получить следующие оценки для параметров ? и ? 2:
При этом оценка математического ожидания не равна в точности ?, а лишь колеблется вокруг этой величины. Разность истинного математического ожидания и рассчитанного на основе выборки, поделенная на масштабирующий коэффициент
имеет распределение, которое называется распределением Стьюдента с N степенями свободы. Есть и другие разделы статистики, в которых появляются случайные величины, распределенные по Стьюденту. Например, распределение Стьюдента используется при оценке значимости коэффициента корреляции Пирсона.
Чаще всего критерий Стьюдента применяется для проверки равенства средних значений в двух выборках.
Если X — случайная величина, то функция F(x) — интегральная функция распределения вероятностей, или просто функция распределения (иногда применяют термин кумулятивная функция распределения) случайной величины определяет вероятность P того, что случайная величина принимает значение, меньше x, т.е.
F(x) = P( X x)
Функция распределения содержит всю информацию о случайной величине, поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения.
Функция распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.
Из определения следует, что функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:
Свойства F(x):
1. Интегральная функция распределения принимает значения от 0 до 1.
2.F(x) — неубывающая функция, то есть F(x2)
F(x1), если x2 x1.
3.Вероятность того, что случайная величины X примет значение, заключенное в интервале (а, b) равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале:
4. Если все значения непрерывной случайной величины принадлежат некоторому промежутку от a до b, то:
F(x) = 0, если x
a,
F(x) = 1, если x
b
Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин.
Дифференциальная функция (плотность распределения) – первая производная от интегральной
Свойства:1.Функция не отрицательная величина.
2.Интегральная в бесконечных пределах, равен 1(площадь между кривой и осью абсцисс равна 1).
Плотность распределения вероятностей