Плотность этого распределения

Здесь — гамма-функция; в частности, Г(п + 1) = п! .

Следовательно, распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы k.

Замечание 1. С увеличением числа степеней свободы распределение «хи-квадрат» постепенно приближается к нормальному.

Замечание 2. С помощью распределения «хи-квадрат» определяются многие другие распреде-ления, встречающиеся на практике, например, распределение случайной величины — длины случайного вектора (Х1, Х2,…, Хп), координаты которого независимы и распределены по нормальному закону.

Впервые ?2-распределение было рассмотрено Р.Хельмертом (1876) и К.Пирсоном (1900).

Мат.ожид.=n; D=2n

7. Распределе?ние Фи?шера

Распределе?ние Фи?шера в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Пусть V и W – независимые СВ, распределенные по закону ?2 со степенями свободы v1 = m и v2 = n соответственно. Тогда величина

Плотность этого распределения

(22)

имеет распределение Фишера со степенями свободы v1 = m и v2 = n (F ~ Fm,n). Таким образом, распределение Фишера F определяется двумя параметрами – числами степеней свободы mиn.

При больших m и n это распределение приближается к нормальному (рис.5). Нетрудно заметить, что Tn2 = F1,n, где Tn – СВ, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = n, F1,n – СВ, имеющая распределение Фишера с числами степеней свободы v1 = 1 и v2 = n.

Плотность этого распределения

Рис.5. График функции плотности вероятности СВ Х, имеющий распределение Фишера.

Плотность этого распределения

Распределение Фишера используется при проверке статистических гипотез в дисперсионном и регрессионном анализах. При этом активно используется таблица критических точек распределения Фишера.

8. t-распределение Стьюдента — это непрерывное одномерное распределение с одним параметром — количеством степеней свободы. Форма распределения Стьюдента похожа на форму нормального распределения (чем больше число степеней свободы, тем ближе распределение к нормальному). Отличием является то, что хвосты распределения Стьюдента медленнее стремятся к нулю, чем хвосты нормального распределения.

Обычно распределение Стьюдента появляется в задачах, связанных с оценкой математического ожидания нормально распределенных случайных величин. Пусть X1 , …, Xn — независимые случайные величины, нормально распределенные с математическим ожиданием ? и дисперсией ? 2. Тогда мы можем получить следующие оценки для параметров ? и ? 2:

Плотность этого распределения

При этом оценка математического ожидания не равна в точности ?, а лишь колеблется вокруг этой величины. Разность истинного математического ожидания и рассчитанного на основе выборки, поделенная на масштабирующий коэффициент

Плотность этого распределения

имеет распределение, которое называется распределением Стьюдента с N степенями свободы. Есть и другие разделы статистики, в которых появляются случайные величины, распределенные по Стьюденту. Например, распределение Стьюдента используется при оценке значимости коэффициента корреляции Пирсона.

Чаще всего критерий Стьюдента применяется для проверки равенства средних значений в двух выборках.

Если X — случайная величина, то функция F(x) — интегральная функция распределения вероятностей, или просто функция распределения (иногда применяют термин кумулятивная функция распределения) случайной величины определяет вероятность P того, что случайная величина принимает значение, меньше x, т.е.

F(x) = P( X x)

Функция распределения содержит всю информацию о случайной величине, поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения.

Функция распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Из определения следует, что функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

Свойства F(x):

1. Интегральная функция распределения принимает значения от 0 до 1.

2.F(x) — неубывающая функция, то есть F(x2)

Плотность этого распределения

F(x1), если x2 x1.

3.Вероятность того, что случайная величины X примет значение, заключенное в интервале (а, b) равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале:

Плотность этого распределения

4. Если все значения непрерывной случайной величины принадлежат некоторому промежутку от a до b, то:

F(x) = 0, если x

Плотность этого распределения

a,
F(x) = 1, если x

Плотность этого распределения

b

Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин.

Дифференциальная функция (плотность распределения) – первая производная от интегральной

Плотность этого распределения

Свойства:1.Функция не отрицательная величина.

2.Интегральная в бесконечных пределах, равен 1(площадь между кривой и осью абсцисс равна 1).

Плотность распределения вероятностей

Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector