а). Мажорантный признак.
Пусть
. Тогда:
*. Если сходится интеграл
, то сходится и интеграл
;
*. Если расходится интеграл
, то расходится и интеграл
.
D Пусть
. Тогда
(из свойств определенного интеграла). Перейдем к точной верхней границе для
в правой и левой части неравенства:
. ^
б). Асимптотическая форма мажорантного признака.Если из двух неотрицательных функций собственно интегрируемым по всем замкнутым промежуткам
и одна ограничивает другую в окрестности особой точки:
при
, то
*. Если
сходится, то и
сходится;
*. Если
расходится , то и
расходится.
D Пусть в окрестности точки
выполнено
. Тогда
и
ограничена при
. Значит
. Значит :
?
сходится ?
также сходится. ^
в). Предельная форма мажорантного признака.
Если отношение двух неотрицательных функций, собственно интегрируемых на любом замкнутом промежутке
, имеет конечный предел в особой точке, то два интеграла сходятся или расходятся одновременно.
Т.е. если
, то из сходимости
? сходимость
, и из расходимости
? расходимость
. Если же
, то
сходимость
U сходимости
.
г). Асимптотический признак одновременной сходимости – расходимости несобственных интегралов.
и
с
– одного порядка при
. Тогда интегралы
и
сходятся или расходятся одновременно.
D
с
– одного порядка при
?
. ^
д). Предельная форма признака одновременной сходимости – расходимости интегралов.
Если
и
, тогда
и
сходятся или расходятся одновременно.
Примеры.
1°.
.При
. Интеграл от мажорирующей функции сходится, следовательно исходный интеграл также сходится.
2°.
,а такой интегрална
расходится.
3°.
.Вывод: исходный интеграл сходится при
и расходится при
.
4°.
.Вывод: исходный интеграл сходится при
и расходится при
.
5°.
.Особая точка
. При
и, следовательно, исходный интеграл сходится (см. 3°).
Признаки сравнения для сходимости числовых рядов. Теория и практика от bezbotvy
