Основные свойства средней арифметической

В случае если личные значения показателя (варианты), уменьшить (расширить) в n раз, то среднее значение нового показателя соответственно уменьшится либо увеличится во столько же.
В случае если все варианты осредняемого показателя уменьшить (расширить) на число А, то средняя арифметическая соответственно изменится на это же число.
В случае если вес всех осредняемых вариантов уменьшить (расширить) в k раз, то средняя арифметическая не изменится.
Сумма отклонений отдельных значений показателя от средней арифметической равна нулю.

Довольно часто приходится вычислять среднюю по групповым средним либо по средним отдельных частей совокупности. К примеру, средняя рождаемость в стране является средним из средних рождаемости по отдельным регионам страны. Средние из средних определяются равно как и средние из начальных значений показателя.

Пример. Разглядим среднюю месячную заработную плат работников некоего предприятия. Пускай, к примеру, в компании трудится 20 человек, заработная плат 19 из них образовывает 10 000 рублей, а заработная плат 10-го, начальника, — 1 000 000 рублей. Тогда среднестатистическая заработная плата одного работника на данной компании будет равна

. Не смотря на то, что среднее и сохранило общую сумму заработной платы, но оно есть в этом случае нехорошим обобщающим показателем: оно не хорошо характеризует заработную плат одного работника на данной компании. Обстоятельство этого кроется в том, что комплект данных содержит выброс — 1 000 000 рублей. Среднее выяснилось через чур громадным для большинства работников и через чур малым для высокооплачиваемого начальника.

Разглядим кое-какие свойства среднего арифметического, каковые разрешают упростить его вычисление и каковые пригодятся при предстоящем изучении математической статистики.

Свойство 1. Среднее арифметическое постоянной величины равняется данной постоянной.

Пускай при изучении показателя x он n раз принимал одно да и то же значение c. Тогда

Свойство 2. В случае если каждое значение показателя Z равняется сумме (разности) значений показателей X и Y, то среднее арифметическое показателя Z равняется сумме (разности) средних арифметических показателей X и Y.

Обозначим i-е варианты показателей X, Y, Z через xi, yi, zi. По условию xi + yi = zi. Тогда

Подобно доказывается свойство и при разности.

К примеру, из этого свойства вытекает, что в случае если контрольная работа по геометрии складывается из двух сюжетных задач, то среднее время, которое идет на исполнение контрольной работы, равняется сумме средних времен, каковые расходуются на исполнение первой и второй задач.

Свойство 3. В случае если ко всем вариантам прибавить одно да и то же число, то и к среднему арифметическому будет прибавлено то же число.

Пускай

— новые варианты, полученные по окончании прибавления к каждой начальной варианте xi одного и того же числа c. Тогда

Рассмотренное свойство разрешает существенно упростить вычисление среднего арифметического без применения вычислительных средств, в особенности тогда, в то время, когда варианты принимают громадные значения.

Это свойство обосновывает произвольный выбор начала отсчета.

Свойство 4. В случае если все варианты умножить (поделить) на одно да и то же число, то среднее арифметическое умножится (разделится) на то же число.

Пускай

— новые варианты, полученные по окончании умножения каждой начальной варианты xi на одно да и то же число c. Тогда

На основании этого свойства возможно изменять единицы, в которых выражаются эти.

Свойство 5. В случае если все частоты умножить (поделить) на одно да и то же число, то среднее арифметическое не изменится.

Пускай

— новые частоты, полученные по окончании умножения каждой начальной частоты ni на одно да и то же число c. Тогда

На основании этого свойства при вычислении среднего частоты возможно заменять, к примеру, относительными частотами.

Свойство 6. Сумма отклонений вариант от их среднего арифметического равна нулю.

Отклонение варианты xi от среднего арифметического

равняется разности

. Тогда

Свойство 7. Сумма квадратов отклонений вариант от их среднего арифметического меньше суммы квадратов отклонений вариант от произвольного числа c на величину

В действительности,

Разность была хорошей (при

), исходя из этого сумма

больше суммы

Свойство 8. Среднее арифметическое, вычисленное согласно данным всех элементов совокупности, равняется взвешенному среднему для так называемых частичных средних, т. е. средних, отысканных для отдельных частей совокупности, причем частота для каждого частичного среднего равна количеству элементов в соответствующей части совокупности.

Пускай совокупность складывается из таких элементов:

x1, x2, …, xk, y1, y2, …, yl, z1, z2, …, zm,

причем k + l +m = n.

Потому, что частичные средние соответственно равны

то неспециализированное среднее равняется

К примеру, это свойство позволяет упростить вычисление среднего арифметического результатов тестирования обучающихся классов одной параллели нескольких школ. Для этого достаточно вычислить среднее арифметическое для каждого класса, а после этого вычислить среднее этих частичных средних, приняв в качестве их частот количество получающих образование соответствующих классах.

Среднее арифметическое разрешает решать задачи, которые связаны с проверкой догадок.