I Определение
Пускай функция
выяснена и постоянна на промежутке
. Тогда для любого
она интегрируема на промежутке
, другими словами существует интеграл
.
Определение 1. Конечный либо нескончаемый предел этого интеграла при
именуют несобственным интегралом 1-го рода от функции
по промежутку
и обозначают знаком
. Наряду с этим, в случае если указанный предел конечен, то несобственный интеграл именуют сходящимся, в другом случае (
либо не существует ) – расходящимся.
Итак, по определению
(1) |
Примеры
1.
.
2.
.
3.
– не существует.
Несобственный интеграл из примера 1 сходится, в примерах 2 и 3 интегралы расходятся.
II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода
Пускай
— некая первообразная для функции
(сущест-вует на
, т.к.
— постоянна). Тогда
Отсюда ясно, что сходимость несобственного интеграла (1) равносильна существованию конечного предела
. В случае если данный предел обозначить
, то возможно написать для интеграла (1) формулу Ньютона-Лейбница:
, где
.
Примеры.
4.
.
5.
.
6. Более сложный пример:
. Сперва отыщем первообразную:
Сейчас можем отыскать интеграл
, учитывая, что
:
.
III Свойства
Приведем последовательность особенностей несобственного интеграла (1), каковые вытекают из определённого свойств интеграла и общих пределов:
1) интегралы
и
сходятся либо расходятся в один момент;
2) в случае если
, то интегралы
и
сходятся либо рас-ходятся в один момент;
3) в случае если интеграл
сходится, то
.
IV Другие определения
Определение 2. В случае если
постоянна на
, то
.
Определение 3. В случае если
постоянна на
, то принимают по определению
(
– произвольное),
причем несобственный интеграл в левой части сходится, в случае если лишь оба ин-теграла в правой части сходятся.
Для этих интегралов, как и для интеграла (1) возможно написать соответствующие формулы Ньютона – Лейбница.
Пример 7.
Интегралы | несобственные интегралы | часть 1