Несобственные интегралы 1-го рода

I Определение

Пускай функция

Несобственные интегралы 1-го рода

выяснена и постоянна на промежутке

Несобственные интегралы 1-го рода

. Тогда для любого

Несобственные интегралы 1-го рода

она интегрируема на промежутке

Несобственные интегралы 1-го рода

, другими словами существует интеграл

Несобственные интегралы 1-го рода

.

Определение 1. Конечный либо нескончаемый предел этого интеграла при

Несобственные интегралы 1-го рода

именуют несобственным интегралом 1-го рода от функции

Несобственные интегралы 1-го рода

по промежутку

Несобственные интегралы 1-го рода

и обозначают знаком

Несобственные интегралы 1-го рода

. Наряду с этим, в случае если указанный предел конечен, то несобственный интеграл именуют сходящимся, в другом случае (

Несобственные интегралы 1-го рода

либо не существует ) – расходящимся.

Итак, по определению

Несобственные интегралы 1-го рода (1)

Примеры

1.

Несобственные интегралы 1-го рода

.

2.

Несобственные интегралы 1-го рода

.

3.

Несобственные интегралы 1-го рода

– не существует.

Несобственный интеграл из примера 1 сходится, в примерах 2 и 3 интегралы расходятся.

II Формула Ньютона – Лейбница для несобственного интеграла первого рода

Пускай

Несобственные интегралы 1-го рода

— некая первообразная для функции

Несобственные интегралы 1-го рода

(сущест-вует на

Несобственные интегралы 1-го рода

, т.к.

Несобственные интегралы 1-го рода

— постоянна). Тогда

Несобственные интегралы 1-го рода

Отсюда ясно, что сходимость несобственного интеграла (1) равносильна существованию конечного предела

Несобственные интегралы 1-го рода

. В случае если данный предел обозначить

Несобственные интегралы 1-го рода

, то возможно написать для интеграла (1) формулу Ньютона-Лейбница:

Несобственные интегралы 1-го рода

, где

Несобственные интегралы 1-го рода

.

Примеры.

4.

Несобственные интегралы 1-го рода

.

5.

Несобственные интегралы 1-го рода

.

6. Более сложный пример:

Несобственные интегралы 1-го рода

. Сперва отыщем первообразную:

Несобственные интегралы 1-го рода

Сейчас можем отыскать интеграл

Несобственные интегралы 1-го рода

, учитывая, что

Несобственные интегралы 1-го рода
Несобственные интегралы 1-го рода

:

Несобственные интегралы 1-го рода

.

III Свойства

Приведем последовательность особенностей несобственного интеграла (1), каковые вытекают из определённого свойств интеграла и общих пределов:

1) интегралы

Несобственные интегралы 1-го рода

и

Несобственные интегралы 1-го рода
Несобственные интегралы 1-го рода

сходятся либо расходятся в один момент;

2) в случае если

Несобственные интегралы 1-го рода

, то интегралы

Несобственные интегралы 1-го рода

и

Несобственные интегралы 1-го рода

сходятся либо рас-ходятся в один момент;

3) в случае если интеграл

Несобственные интегралы 1-го рода

сходится, то

Несобственные интегралы 1-го рода

.

IV Другие определения

Определение 2. В случае если

Несобственные интегралы 1-го рода

постоянна на

Несобственные интегралы 1-го рода

, то

Несобственные интегралы 1-го рода

.

Определение 3. В случае если

Несобственные интегралы 1-го рода

постоянна на

Несобственные интегралы 1-го рода

, то принимают по определению

Несобственные интегралы 1-го рода

(

Несобственные интегралы 1-го рода

– произвольное),

причем несобственный интеграл в левой части сходится, в случае если лишь оба ин-теграла в правой части сходятся.

Для этих интегралов, как и для интеграла (1) возможно написать соответствующие формулы Ньютона – Лейбница.

Пример 7.

Несобственные интегралы 1-го рода

Несобственные интегралы 1-го рода

Интегралы | несобственные интегралы | часть 1

Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector