Существуют другие способы нахождения ранга матрицы, каковые разрешают взять итог при меньшей вычислительной работе.
Одним из таких способов есть способ окаймляющих миноров.
Разберемся с понятием окаймляющего минора.
Говорят, что минор Мок (k+1)-ого порядка матрицы А окаймляет минор M порядка k матрицы А, в случае если матрица, соответствующая минору Мок , «содержит» матрицу, соответствующую минору M.
Иначе говоря матрица, соответствующая окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору Mок , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.
Для примера разглядим матрицу
и заберём минор второго порядка
. Запишем все окаймляющие миноры:
Способ окаймляющих миноров обосновывается следующей теоремой (приведем ее формулировку без доказательства).
Теорема.
В случае если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равны нулю.
Так, для нахождения ранга матрицы не обязательно выбирать все миноры, достаточно окаймляющих. Количество миноров, окаймляющих минор k -ого порядка матрицы А порядка
, находится по формуле
. Напомним, что миноров, окаймляющих минор k-ого порядка матрицы А, не больше, чем миноров (k + 1)-ого порядка матрицы А. Исходя из этого, как правило применение способа окаймляющих миноров удачнее несложного перебора всех миноров.
Перейдем к нахождению ранга матрицы способом окаймляющих миноров. Коротко обрисуем метод этого способа.
В случае если матрица А ненулевая, то в качестве минора первого порядка берем любой элемент матрицы А, хороший от нуля. Разглядываем его окаймляющие миноры. В случае если все они равны нулю, то ранг матрицы равен единице. В случае если же имеется хотя бы один ненулевой окаймляющий минор (его порядок равен двум), то переходим к рассмотрению его окаймляющих миноров. В случае если все они равны нулю, то Rank(A) = 2. В случае если хотя бы один окаймляющий минор отличен от нуля (его порядок равен трем), то разглядываем его окаймляющие миноры. И без того потом. В итоге Rank(A) = k, в случае если все окаймляющие миноры (k + 1)-ого порядка матрицы А равны нулю, или Rank(A) = min(p, n), в случае если существует ненулевой минор, окаймляющий минор порядка (min(p, n) – 1).
Разберем способ окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы на примере.
Пример.
Отыщите ранг матрицы
способом окаймляющих миноров.
Ответ.
Так как элемент a1 1 матрицы А отличен от нуля, то заберём его в качестве минора первого порядка. Начнем поиск окаймляющего минора, хорошего от нуля:
Отыскан окаймляющий минор второго порядка, хороший от нуля
. Переберем его окаймляющие миноры (их
штук):
Все миноры, окаймляющие минор второго порядка
, равны нулю, следовательно, ранг матрицы А равен двум.
Ответ:
Rank(A) = 2.
Пример.
Отыщите ранг матрицы
посредством окаймляющих миноров.
Ответ.
В качестве хорошего от нуля минора первого порядка заберём элемент a1 1 = 1 матрицы А. Окаймляющий его минор второго порядка
не равен нулю. Данный минор окаймляется минором третьего порядка
. Так как он не равен нулю и для него не существует ни одного окаймляющего минора, то ранг матрицы А равен трем.
Ответ:
Rank(A) = 3.
К началу страницы
Нахождение ранга посредством элементарных преобразований матрицы (способом Гаусса).
Разглядим еще один метод нахождения ранга матрицы.
Следующие преобразования матрицы именуют элементарными:
- перестановка местами строчков (либо столбцов) матрицы;
- умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, хорошее от нуля;
- прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов второй строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k.
Матрица В именуется эквивалентной матрице А, в случае если В взята из А посредством конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначается знаком « ~ », другими словами, записывается A ~ B.
Нахождение ранга матрицы посредством элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: в случае если матрица В взята из матрицы А посредством конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).
Справедливость этого утверждения направляться из особенностей определителя матрицы:
- При перестановке строчков (либо столбцов) матрицы ее определитель меняет символ. Если он равен нулю, то при перестановке строчков (столбцов) он остается равным нулю.
- При умножении всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k хорошее от нуля, определитель взятой матрицы равен определителю исходной матрицы, умноженному на k. В случае если определитель исходной матрицы равен нулю, то по окончании умножения всех элементов какой-либо строки либо столбца на число k определитель взятой матрицы кроме этого будет равен нулю.
- Прибавление к элементам некоей строки (столбца) матрицы соответствующих элементов второй строки (столбца) матрицы, умноженных на некое число k, не изменяет ее определителя.
Сущность способа элементарных преобразований содержится в приведении матрицы, ранг которой нам требуется отыскать, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) посредством элементарных преобразований.
Для чего это делается? Ранг матриц для того чтобы вида весьма легко отыскать. Он равен количеству строчков, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.
Приведем иллюстрации матриц, одна из которых обязана оказаться по окончании преобразований. Их вид зависит от порядка матрицы.
- Для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строчков которых больше числа столбцов (p n).
либо
- Для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строчков которых меньше числа столбцов (p n).
либо
- Для квадратных матриц А порядка n на n.
либо
Эти иллюстрации являются шаблонами, к каким будем преобразовывать матрицу А.
Обрисуем метод способа.
Пускай нам требуется отыскать ранг ненулевой матрицы А порядка
(p предположительно составит n).
Будем вычислять, что элемент a11 отличен от нуля. В другом случае мы можем перестановкой строчков и (либо) столбцов преобразовать матрицу так, дабы «новый» элемент a11 стал ненулевым.
Итак,
. Умножим все элементы первой строки матрицы А на
. Наряду с этим возьмём эквивалентную матрицу, обозначим ее А(1):
К элементам второй строки взятой матрицы А(1) прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на
. К элементам третьей строчки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на
. И без того потом до p-ой строки. Возьмём эквивалентную матрицу, обозначим ее А(2):
В случае если все элементы взятой матрицы, находящиеся в строчках со второй по p-ую, равны нулю, то ранг данной матрицы равен единице, а, следовательно, и ранг исходной матрицы равен единице.
В случае если же в строчках со второй по p-ую имеется хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем полностью подобно, но только с отмеченной на рисунке частью матрицы А(2)
В случае если
, то переставляем строки и (либо) столбцы матрицы А(2) так, дабы «новый» элемент
стал ненулевым.
Итак,
. Умножаем любой элемент второй строки матрицы А(2) на
. Приобретаем эквивалентную матрицу А(3):
К элементам третьей строки взятой матрицы А(3) прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на
. К элементам четвертой строчки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на
. И без того потом до p-ой строки. Возьмём эквивалентную матрицу, обозначим ее А(4):
В случае если все элементы взятой матрицы, находящиеся в строчках с третьей по p-ую, равны нулю, то ранг данной матрицы равен двум, а, следовательно, Rank(A) = 2.
В случае если же в строчках с третьей по p-ую имеется хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем полностью подобно, но только с отмеченной на рисунке частью матрицы А(4):
И без того действуем дальше, пока не придем к одному из рассмотренных выше шаблонов, что позволит найти ранг исходной матрицы.
Разберем решения нескольких примеров.
Пример.
Отыщите ранг матрицы
посредством элементарных преобразований.
Ответ.
Так как элемент a1 1 отличен от нуля, то умножим элементы первой строки матрицы А на
:
Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на (- 3). К элементам третьей строчки прибавим элементы первой строки, умноженные на (- 1). И без того потом:
Элемент
отличен от нуля, исходя из этого мы можем умножить элементы второй строки матрицы А(2) на
:
К элементам третьей строки взятой матрицы прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на
; к элементам четвертой строки – элементы второй строки, умноженные на
; к элементам пятой строки – элементы второй строки, умноженные на
:
Все элементы третьей, четвертой и пятой строчков взятой матрицы равны нулю. Так посредством элементарных преобразований мы привели матрицу А к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank(A(4)) = 2. Следовательно, ранг исходной матрицы кроме этого равен двум.
Замечание.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: при проведении элементарных преобразований не допускаются приближенные вычисления!
Разглядим еще один пример.
Пример.
Способом элементарных преобразований отыщите ранг матрицы
.
Ответ.
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А, поскольку элемент a1 1равен нулю, а элемент a21 отличен от нуля:
В взятой матрице элемент
равен единице, исходя из этого не требуется создавать умножение элементов первой строки на
. Сделаем все элементы первого столбца, не считая первого, нулевыми:
Так первый столбец преобразован к нужному виду.
Элемент
в взятой матрице отличен от нуля. Умножим элементы второй строки на
:
Второй столбец взятой матрицы имеет необходимый вид, поскольку элемент
уже равен нулю.
Так как
, а
, то поменяем местами третий и четвертый столбцы:
Умножим третью строчок взятой матрицы на
:
На этом заканчиваем преобразования. Приобретаем Rank(A(5))=3, следовательно, Rank(A)=3.
Ответ:
ранг исходной матрицы равен трем.
К началу страницы
Подведем итог.
Мы разобрали понятие ранга матрицы и разглядели три метода его нахождения:
- по определению способом перебора всех миноров;
- способом окаймляющих миноров;
- способом элементарных преобразований.
Целесообразно постоянно использовать способ элементарных преобразований при нахождении ранга матрицы, поскольку он ведет к результату при меньшем количестве вычислений, если сравнивать с способом окаймляющих миноров, и тем более в сравнении с способом перебора всех миноров матрицы.
Способ окаймляющих миноров. Отыскать ранг матрицы. Пример
