Целью расчета сооружений на устойчивость первого рода есть определение критической величины нагрузки, при которой совокупность теряет устойчивость, другими словами переходит к новому положению либо как следует отличающемуся от начального деформированному состоянию. Потому, что это состояние должно быть равновесным, к нему смогут быть применены уравнения статики и способы строительной механики. Но в этом случае нужно изучить равновесие совокупности уже по окончании утраты устойчивости и совершить расчет по деформированной схеме. Это событие существенно осложняет расчеты и потому обычно для ответа задачи устойчивости или упрощают схему сооружения, или используют приближенные способы анализа.
Упрощение расчетной схемы осуществляется, в большинстве случаев, за счет уменьшения числа степеней свободы сооружения, которое определяет количество вероятных форм деформации при утрата совокупностью устойчивости. Для настоящих сооружений, воображающих собой упругие совокупности, количество степеней свободы вечно громадно. Конечное количество степеней свободы смогут иметь совокупности, складывающиеся из полностью твёрдых элементов, каковые соединяются между собой конечным числом упругих связей. Так, совокупность, которая складывается из четырех полностью твёрдых элементов AC, CD, DE и EB (рис.19.7,а), каковые соединяются при помощью упругих шарниров C, D, E, имеет три степени свободы.
Рис.19.7
Совокупность возможно разглядывать как упрощенную схему упругой балки (рис.19.7,б). В отличие от исходной схемы эта упрощенная модель может иметь только три формы утраты устойчивости и три критических значения внешней силы. В случае если расчет упругой совокупности с вечно солидным числом степеней свободы требует решения и составления дифференциальных уравнений, то расчет упрощенной схемы – ответа алгебраических уравнений.
Для практических целей достаточно вычислить только одну – минимальную величину критической нагрузки, потому, что утрата устойчивости, которая ей соответствует, приведет к разрушению сооружения и, следовательно, все другие критические размеры нагрузки имеют сугубо теоретическое значение.
Существуют три главных хороших способа определения критических нагрузок: статический, энергетический и динамический.
В статическом методерассматривается состоянии равновесия упругой совокупности, которое отличается от исходного равновесного состояния наличием бесконечно малых перемещений, определяющих это новое состояние равновесия. Наряду с этим исходной совокупности придается отклоненная форма равновесия, которая ожидается при утрата устойчивости. Потом вычисляются значения внешних нагрузок, талантливых удержать совокупность в новой форме равновесия. Эти значения считаются критическими. Наряду с этим задача определения критической нагрузки ведет к вычислению критических сил из уравнения, которое возможно записать в виде детерминанта:
a11 -b11 (Pкр )
| D = |
a21 -b21 (Pкр )
a12 -b12 (Pкр ) L
a22 -b22 (Pкр ) L
a1n -b1n (Pкр )
| 2n 2n (кр ) |
a — b P
=0 . (19.1)
L L L L
an1 -bn1 (Pкр )
an2 -bn2 (Pкр )L
ann -bnn (Pкр )
Элементы aik и bik детерминанта зависят от геометрии системы и упругих свойств. В общем случае Pкр не есть множителем для элемента bik, а входит в довод трансцендентной функции.
Энергетический способ базируется на анализе полной потенциальной энергии совокупности П в отклоненном равновесном состоянии, при котором полная потенциальная энергия принимает экстремальное значение. При совокупности с n степенями свободы это выражается зависимостями:
¶ P
¶ a1
= 0,
¶ P
¶ a2
= 0, K ,
¶ P
¶ an
= 0 , (19.2)
где a1,a2 ,K ,an
– параметры, каковые определяют отклоненное состояние.
Эти же уравнения возможно взять, в случае если применить принцип вероятных работ к деформированному состоянию совокупности. В этом случае для совокупности с n степенями свободы складывается n уравнений вероятных работ на n перемещениях, каковые задаются приращениями каждого из параметров, определяющих положение совокупности.
Динамический способ базируется на рассмотрении колебаний совокупностей, каковые загружены осевыми силами, и на определении величины этих сил, при достижении которой внешнее возбуждение ведет к неограниченному росту колебаний с течением времени.
Для консервативных совокупностей, другими словами совокупностей, в которых работа внешних сил не зависит от пути, что проходят силы при переходе от начального к конечному состоянию, теоретически все три способа дают одинаковый итог. Но, потому, что энергетический способ употребляется для приближенного ответа задач устойчивости, при котором нужно задаваться формой упругой линии, он, в большинстве случаев, дает пара
завышенные значения критических сил. Изучение неконсервативных совокупностей направляться осуществлять динамическим способом.
|
Пример 19.1. Выяснить критическую нагрузку совокупности (рис.19.8,а) посредством статического способа.
Рис.19.8
Совокупность складывается из трех полностью твёрдых звеньев, каковые шарнирно соединены между собой. Упругие шарнирно-подвижные опоры C и D представляют собой пружины с коэффициентами жесткости kC = kD = k. Будем искать значения силы P, при которой, не считая прямолинейного положения равновесия, вероятное отклоненное уравновешенное положение совокупности.
Разглядываемая совокупность, имеет две степени свободы. Это направляться из того, что перемещение любой ее точки будет выяснено, в случае если будут известными два параметра –
вертикальные перемещения yc и yD шарниров C и D.
Придадим совокупности ожидаемое отклоненное состояние равновесия (рис.19.8,б), задав перемещениям шарниров C и D кое-какие перемещения. Наряду с этим в пружинах появляются реакции, направленные в противоположном по отношению к перемещениям направлении. Величины реакций в пружинах равняются:
RC = kyC ; RD = kyD .
Реакции совершенных опор определяются из условий равновесия в отклоненном состоянии:
aM A = 0, RB=
aMB = 0, RA =
( yC +2 yD );
| k |
3
| k |
( yD +2 yC ).
Составив уравнения, каковые высказывают равенство нулю моментов в шарнирах C и D
отклоненного состояния, возьмём:
Базы сопромата. Задача 6. Критическая сила и критические напряжения в сжатом стержне
