Теорема
В случае если А — эрмитова матрица, то существует такая унитарная матрица V, что преобразование подобия с данной матрицей ведет к диагональному виду, другими словами V-1AV=L, где L — диагональная матрица из собственных значений матрицы А.
Частным случаем унитарной матрицы есть ортогональная матрица, для которой выполнено следующее:
Обозначим VT — транспонированную матрицу.
Так как VTV=E, то V-1=VT и преобразование подобия принимает вид VTAV=L. Конкретно эту задачу решать затруднительно. Ее решают последовательно.
Пускай А — вещественная симметричная матрица. Для таковой матрицы способ вращений содержится в построении последовательности матриц A(0)=А, A(1), …, A(k) ,…, в которой любая последующая матрица получается из прошлой при помощи элементарного шага, пребывающего в преобразовании подобия прошлой матрицы при помощи некоей ортогональной матрицы вращения
У матрицы
на диагонали стоят единицы везде, не считая ik-ой и jk-ой строчков (ik
При n=3, ik=1, jk=3 матрица будет иметь вид
.
Матрица А(к+1) строится из А(к) так, дабы t2(А(к+1)) t2(А(к)), где
Возможно продемонстрировать, что
и следовательно
Для этого ik, jk — индексы большого по модулю из наддиагональных элементов матрицы, другими словами
а угол jк выбирается так, дабы
Из этого приобретаем
Значения с=cos(jk) и s= sin(jk) возможно вычислить следующим образом:
Увидим, что в случае если
то
Личные числа возможно уточнить следующим образом:
тогда
Разглядим формулы для элементов матрицы А(к+1).
Обозначим
,
тогда разумеется, что у матрицы B(k) изменятся лишь ik и jk столбцы, а у матрицы
изменятся лишь ik и jk строки, так что в итоге пересчитываем элементы матрицы по формулам
Разумеется, что личные векторы будут столбцами матрицы
Итак, для ответа задачи нужно выполнить следующие действия:
1. Подготовить единичную матрицу для собственных векторов (Х=Е).
2. В матрице А(к) (к=0, 1, …) выбрать среди всех наддиагональных элементов большой по полной величине элемент
и запомнить его индексы.
3. Проверить условие
В случае если условие не выполнено — перейти к п.4, в случае если выполнено, завершить процесс.
4. Отыскать угол jк, после этого с=cosjк, s=sinjк.
5. Пересчитать элементы матрицы А(к+1), элементы матрицы Х.
6. Перейти к п.2.
Лекция 9: Неприятность собственных значений (окончание
