Историческая справка
Способ Гаусса был предложен известнейшим германским математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 — 1855) и есть одним из самые универсальных способов ответа СЛАУ. Сущность этого способа пребывает в том, что при помощи последовательных исключений малоизвестных эта совокупность преобразовывается в ступенчатую (в частности, треугольную) совокупность, равносильную данной. При практическом ответе задачи, расширенная матрица совокупности посредством элементарных преобразований над ее строчками приводится к ступенчатому виду. Потом последовательно находятся все малоизвестные, начиная снизу вверх.
Принцип способа Гаусса
Способ Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, другими словами получение нулей под основной диагональю) и обратный (получение нулей над основной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой движение и именуется способом Гаусса, обратный — способом Гаусса-Жордана, что отличается от первого лишь последовательностью исключения переменных.
Способ Гаусса идеально подходит для ответа совокупностей содержащих больше трех линейных уравнений, для ответа совокупностей уравнений, каковые не являются квадратными (чего не сообщишь про матричный метод и метод Крамера). Другими словами способ Гаусса — самый универсальный способ для нахождения ответа любой совокупности линейных уравнений, он трудится при, в то время, когда совокупность имеет вечно большое количество ответов либо несовместна.
Примеры ответа совокупностей уравнений
Пример
Задание. Решить СЛАУ
способом Гаусса.
Ответ. Выпишем расширенную матрицу совокупности и при помощи элементарных преобразований над ее строчками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой движение) и потом выполним обратный движение способа Гаусса (сделаем нули выше основной диагонали). Сначала поменяем первую и вторую строчок, дабы элемент
равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):
Потом делаем нули под основной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строчки отнимаем две первых, от третьей — три первых:
Все элементы третьей строки делим на два (либо, что также самое, умножаем на
):
Потом делаем нули во втором столбце под основной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, дабы диагональный элемент равнялся 1:
От третьей строчки отнимаем вторую, умноженную на 3:
Умножив третью строчок на
, приобретаем:
Совершим сейчас обратный движение способа Гаусса (способ Гассу-Жордана), другими словами сделаем нули над основной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Нужно обнулить элемент
, для этого от второй строчки заберём третью:
Потом обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:
Взятой матрице соответствует совокупность
либо
Ответ.
Математика без Ху%!ни. Способ Гаусса. Способ Жордано-Гаусса.
