Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования совокупностей помогают информацию о условиях и назначении работы исследуемой (проектируемой) совокупности, каковые определяют главную цель моделирования и разрешают сформулировать требования к разрабатываемой математической модели. Математическую схему возможно выяснить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования совокупности с учетом действия окружающей среды, т.е. имеет место цепочка «описательная модель – математическая схема – математическая [аналитическая либо (и) имитационная] модель».
Модель объекта моделирования, т. е. совокупности S, возможно представить в виде множества размеров, обрисовывающих процесс функционирования настоящей образующих и системы в общем случае следующие подмножества:
- совокупность входных действий на совокупность – xi;
- совокупность действий окружающей среды – nl;
- совокупность внутренних (собственных) параметров совокупности – hk;
- совокупность выходных черт совокупности – yj.
Наряду с этим в перечисленных подмножествах возможно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае xi, nl, hk, yj являются элементами непересекающихся подмножеств X, V, H, Y и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.
При моделировании совокупности S входные действия, действия окружающей среды Е и внутренние параметры совокупности являются свободными (экзогенными) переменными, каковые в векторной форме имеют соответственно вид
,
а выходные чёрта совокупности являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид
Процесс функционирования совокупности S описывается во времени операторомFs, что в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида:
. (2.1)
Совокупность зависимостей выходных черт совокупности от времени yj(t) для всех видов
, именуется выходной траекторией
. Зависимость (2.1) именуется законом функционирования совокупности S и обозначаетсяFs.В общем случае закон функционирования системыFs может быт задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах либо в виде словесного правила соответствия.
Очень ответственным для исследования и описания совокупности S есть понятие метода функционирования Аs, под которым понимается способ получения выходных черт с учетом входных действий
, действий окружающей среды
и собственных параметров совокупности. Разумеется, что одинаковый закон функционированиясистемыможет быть реализован разными методами, т.е. посредством множества разных методов Аs.
Соотношения (2.1) являются математическим описанием поведения объекта (совокупности) моделирования во времени, т.е. отражают его динамические особенности. Исходя из этого математические модели для того чтобы вида принято именовать динамическими моделями (совокупностями).
Для статических моделей математическое описание (2.1) является отображением между двумя подмножествами особенностей моделируемого объекта Y и [X, V, H], что в векторной форме возможно записано как
. (2.2)
Соотношения (2.1) и (2.2) смогут быть заданы разными методами: аналитически (посредством формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения во многих случаях смогут быть взяты через свойства совокупности S в конкретные моменты времени, именуемые состояниями. Состояние совокупности S характеризуется векторами
и
,
где z’1=z1(t’), z’2=z2(t’), …, z’k=zk(t’), в момент t’’I(t0, T); z’’1=z1(t’’), z’’2=z2(t’’), …, z’’k=zk(t’’) в момент t’’I(t0, T) и т.д.,
.
В случае если разглядывать процесс функционирования совокупности S как последовательную смену состояний z1(t), z2(t), …, zk(t), то они смогут быть трактованы как координаты точки в k-мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некая фазовая траектория. Совокупность всех вероятных значений состояний
именуется пространством состояний объекта моделированияZ, причем zkIZ.
Состояния совокупности S в момент времени t0 t* ? Т всецело определяются начальными условиями
[где z01=z1(t0), z02=z2(t0), …, z0k=zk(t0)], входными действиями
, воздействиями и
внутренними параметрами окружающей среды
, каковые имели место за временной отрезок t* – t0, посредством двух векторных уравнений:
; (2.3)
. (2.4)
Первое уравнение по начальному состоянию
и экзогенным переменным
определяет вектор-функцию
, а второе по взятому значению состояний
– эндогенные переменные на выходе совокупности
. Так, цепочка уравнений объекта «вход – состояния – выход» разрешает выяснить характеристики совокупности:
. (2.5)
В общем случае время в модели совокупности S может рассматриваться на промежутке моделирования (0, Т) как постоянное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезки длиной
временных единиц любой, в то время, когда
, где
число промежутков дискретизации.
Так, под математической моделью объекта (настоящей совокупности) знают конечное подмножество переменных
вместе с математическими связями между характеристиками и ними
.
В случае если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности либо они не учитываются, т.е. в случае если можно считать, что в этом случае стохастические действия окружающей среды
и стохастические внутренние параметры
отсутствуют, то модель именуется детерминированной в том смысле, что характеристики конкретно определяются детерминированными входными действиями
. (2.6)
Разумеется, что детерминированная модель есть частным случаем стохастической модели.
Приведенные математические соотношения являются математические схемы неспециализированного вида и разрешают обрисовать широкий класс совокупностей. Но в практике моделирования объектов в области системного анализа и системотехники на начальных этапах изучения совокупности рациональнее применять типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, совокупности массового обслуживания, сети Петри и т.д.
Не владея таковой степенью общности, как рассмотренные модели, типовые математические схемы имеют наглядности и преимущества простоты, но при значительном сужении возможностей применения. В качестве детерминированных моделей, в то время, когда при изучении случайные факторы не учитываются, для представления совокупностей, функционирующих в постоянном времени, употребляются дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные и другие уравнения, а для представления совокупностей, функционирующих в дискретном времени, — конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления совокупностей с дискретным временем употребляются вероятностные автоматы, а для представления совокупности с постоянным временем – совокупности массового обслуживания и т.д.
Перечисленные типовые математические схемы, конечно, не смогут претендовать на возможность описания на их базе всех процессов, происходящих в громадных информационно-управляющих совокупностях. Для таких совокупностей во многих случаях более перспективным есть использование агрегативных моделей. Агрегативные модели (совокупности) разрешают обрисовать широкий круг объектов изучения с отображением системного характера этих объектов. Как раз при агрегативном описании сложный объект (совокупность) расчленяется на конечное число частей (систем), сохраняя наряду с этим связи, снабжающие сотрудничество частей.
Так, при построении математических моделей процессов функционирования совокупностей возможно выделить следующие главные подходы: непрерывно-детерминированный (к примеру, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (совокупности массового обслуживания); обобщенный, либо универсальный (агрегативные совокупности).
Алгебра 9 класс. Совокупности уравнений как математические модели настоящих обстановок
