Экстремумы и условия его существования

Определение Точка х0именуется точкой максимума (минимума) функции y = f(x), в случае если существует промежуток, содержащий точку х0, таковой, что для всехх из этого промежутка имеет место неравенство f(x0) ? f(x), f(x0) ? f(x). минимума и Точки максимума именуются точками экстремума.

Нужное условие существования экстремума: в точке экстремума функции ее производная или равна нулю (f'(x) = 0), или не существует.

Первое достаточное условие существования экстремума: в случае если в точке х0 функция y = f(x) постоянна, а производная f'(x) при переходе через точку х0меняет символ, то точка х0 — точка экстремума: максимума, в случае если символ изменяется с «+» на «–», и минимума, в случае если с «–» на «+».

В случае если при переходе через точку х0 производная не меняет символ, то в точке х0 экстремума нет.

Второе достаточное условие существования экстремума: в случае если в точке х0 f'(x0) = 0, a f(x0) 0, то х0 есть точкой максимума функции. В случае если f'(x0) = 0, a f(x0) 0, то х0 есть точкой минимума функции.

Схема изучения функции y = f(x) на экстремум:

1) отыскать производную y’ = f'(x);

2) отыскать критические точки функции, в которых производная равна нулю либо не существует;

3) изучить символ производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции;

4) отыскать экстремальные значения функции.

При изучении функции на экстремум посредством 2-го достаточного условия п. 1), 2), 4)сохраняются, а в п. 3)нужно отыскать вторую производную f(x)и выяснить ее символ в каждой критической точке.

Экстремальная задача: отыскать громаднейшее и мельчайшее значение (минимум функции и глобальный)максимум y = f(x) на отрезке [a, b]

Это указывает — выбрать громаднейшее (мельчайшее) из значений функции в критических точках, находящихся в промежутке (a, b) и на финишах отрезка (в точках а и b).

В случае если дифференцируемая на промежутке (a, b)функция y = f(x) имеет единственную точку экстремума, то в данной точке достигается громаднейшее либо мельчайшее значение (глобальный максимум либо минимум) функции на промежутке (a, b).

Пример 5.Отыскать экстремумы функции и интервалы монотонности

Экстремумы и условия его существования

Ответ

В соответствии со схемой изучения (п. 6) отыщем

у’ = 2х2 –5х +2.

Разумеется, производная существует при всех значениях х. Приравнивая у’ к нулю, приобретаем уравнение

2х2– 5х + 2 = 0,

Откудач x1=0,5 и x2 =2 — критические точки. Символы производной имеют вид (рис.1):

Экстремумы и условия его существования

Рис. 1

На промежутках (-?; 0,5) и (2; +?) производная f?(x) 0 и функция возрастает, на промежутке (0,5; 2) f?(x) 0 и функция убывает; x = 0,5 — точка максимума и x = 2 — точка минимума и без того как при переходе через эти точки производная меняет собственный символ соответственно с«+» на «–» и с «–» на «+».

Замечание.

Установить существование экстремума в критических точках и x = 2,в которых f?(x) = 0 возможно было и посредством второй производной f(x) = 4x – 5 (см. п. 5). Так как а f(2) = 3 0, то — точка максимума, а х = 2 — точка минимума.

График данной функции схематично продемонстрирован на рис. 2.

Экстремумы и условия его существования

Рис. 2

Пример 6Отыскать интервалы и экстремумы монотонности функции

y = (xlnx – x)2.

Ответ

Экстремумы и условия его существования

Производная существует во всех точках, в которых существует и сама функция, т.е. при х 0. Точки, в которых производная обращается в нуль, задаются равенствами lnх = 0, lnx – 1 = 0, откуда x1 = 1, x2 = e — критические точки. Символы производной указаны на рис. 3.

Экстремумы и условия его существования

Рис. 3

Так, функция монотонно возрастает на промежутках (0; 1) и (е; +оо) и монотонно убывает на промежутке (1; e). точка и = 1 — Точка максимума и fmax(1) = 1, точка х = e — точка минимума и fmin (е) = 0

Экстремумы и условия его существования

.

Рис. 4

Пример 7 Отыскать интервалы и экстремумы монотонности функции

Экстремумы и условия его существования

Ответ

Экстремумы и условия его существования

Производная не существует при cosx = 1, т.е. при x = 2?n и равна нулю при x = ? + 2?n. Символ производной сходится со знаком sinx; так у’ 0 при 2?k х ? + 2пk и у’ 0 при –? + 2пk x 2пk. Это, соответственно, убывания функции и интервалы возрастания. x = ? + 2пk — точки максимума

Экстремумы и условия его существования

x = 2пk — точки минимума fmin(2пk) = 0.

Экстремумы и условия его существования

Рис. 5

Пример 8Отыскать громаднейшее значение (глобальный максимум) функции

Экстремумы и условия его существования

на промежутке (10; 18).

Ответ

Отыщем

Экстремумы и условия его существования

На промежутке (10; 18) имеется всего одна критическая точка х = 16. Производная при переходе через эту точку меняет символ с «+» на «–», т.е. х = 16 — точка максимума. Следовательно, функция достигает громаднейшего значения при х = 16, т.е. fнаиб =fmax(16) = –16. (Увидим, что мельчайшего значения (глобального минимума) данной функции на указанном промежутке не существует.)

Видеоурок \


Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: