Преувеличение
Определение. Пускай на плоскости заданы две точки F1и F2, расстояние между которыми равняется 2c. Пускай, помимо этого, задано положительное число a, меньшее c. Преувеличением именуется множество точек той же плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F1 и F2, именуемых фокусами преувеличения, имеется число постоянное, равное 2а.
Вывод канонического уравнения
Для вывода уравнения преувеличения, которое мы потом назовём каноническим, выберем на плоскости прямоугольную декартову совокупность координат следующим образом: ось
совершим через фокусы преувеличения, а ось
– перпендикулярно ей через середину отрезка F1F2 (рис. 3.1). По определению преувеличении удовлетворяют те, и лишь те точки М плоскости, для которых
Рис. 3.1.
. (1)
Чтобы получить уравнение преувеличения остаётся лишь записать равенство (1) в координатах. В выбранной совокупности координат фокусы преувеличения имеют следующие координаты: F1 (–c; 0); F2 (c; 0). Координаты произвольной (либо текущей) точки множества постоянно обозначаются x и y. Так, M(x; y). Так как
,
,
то уравнение (1) равносильно следующему:
, (2)
которое, со своей стороны, равносильно уравнению:
. (3)
Оба эти уравнения являются уравнениями преувеличения, но они имеют громоздкий вид, неудобны для применения и для запоминания, исходя из этого мы преобразуем их к более несложному виду. Совершим следующую цепочку преобразований:
(3)
.
Учитывая, что
, поделив последнее уравнение на
, приобретаем:
. (4′)
Так как
, то
, исходя из этого найдется такое положительное число
, что
. Сейчас уравнение (4′) примет вид:
. (4)
Мы доказали: в случае если точка в собственности преувеличении, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) либо (4).
Докажем обратное: в случае если координаты точки удовлетворяют уравнению (4) либо (3), то она в собственности преувеличении. Итак,
{M (x; y) удовлетворяет (4)}
§22 Изучение канонического уравнения преувеличения