Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

Преувеличение

Определение. Пускай на плоскости заданы две точки F1и F2, расстояние между которыми равняется 2c. Пускай, помимо этого, задано положительное число a, меньшее c. Преувеличением именуется множество точек той же плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F1 и F2, именуемых фокусами преувеличения, имеется число постоянное, равное 2а.

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

Вывод канонического уравнения

Для вывода уравнения преувеличения, которое мы потом назовём каноническим, выберем на плоскости прямоугольную декартову совокупность координат следующим образом: ось

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

совершим через фокусы преувеличения, а ось

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

– перпендикулярно ей через середину отрезка F1F2 (рис. 3.1). По определению преувеличении удовлетворяют те, и лишь те точки М плоскости, для которых

Рис. 3.1.

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

. (1)

Чтобы получить уравнение преувеличения остаётся лишь записать равенство (1) в координатах. В выбранной совокупности координат фокусы преувеличения имеют следующие координаты: F1 (–c; 0); F2 (c; 0). Координаты произвольной (либо текущей) точки множества постоянно обозначаются x и y. Так, M(x; y). Так как

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

,

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

,

то уравнение (1) равносильно следующему:

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

, (2)

которое, со своей стороны, равносильно уравнению:

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

. (3)

Оба эти уравнения являются уравнениями преувеличения, но они имеют громоздкий вид, неудобны для применения и для запоминания, исходя из этого мы преобразуем их к более несложному виду. Совершим следующую цепочку преобразований:

(3)

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

.

Учитывая, что

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

, поделив последнее уравнение на

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

, приобретаем:

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

. (4′)

Так как

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

, то

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

, исходя из этого найдется такое положительное число

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

, что

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

. Сейчас уравнение (4′) примет вид:

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

. (4)

Мы доказали: в случае если точка в собственности преувеличении, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) либо (4).

Докажем обратное: в случае если координаты точки удовлетворяют уравнению (4) либо (3), то она в собственности преувеличении. Итак,

{M (x; y) удовлетворяет (4)}

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

§22 Изучение канонического уравнения преувеличения

Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector