Определения разных классов неравенств и иррациональных уравнений, каковые приводятся в школьных книжках, в большинстве случаев имеют вид; Уравнение именуется иррациональным, если оно содержит малоизвестное под знаком корня либо уравнение А(х)=В(х), в котором хотя бы одно из выражений А(х), В(х) иррационально, именуется иррациональным. Не обращая внимания на формальную расплывчатось, определения для того чтобы типа достаточны чтобы указать некую область, уравнения либо неравенства из которой решаются методами, изучаемыми при прохождении соответствующей темы. В каждом из таких классов возможно указать подклассы несложных уравнений либо неравенств, к каким и сводится ответ более сложных заданий. Н-р, для иррациональных уравнений это уравнение вида
.
Любой несложный класс тесно связан с классом соответствующих функций; по существу исследование и формулу решений несложных неравенств и уравнений тут опираются на особенности функций. Существенно чаще, чем в предшествующей части курса, в ответе неравенств и уравнений употребляются неравносильные преобразовангия, активно применяются подстановки. Исходя из этого целый материал требует в еще большей мере, чем изучение квадратных уравнений, достаточной логичесокй грамотности обучающихся.
Специфика иррациональных уравнений. Тут используется характерное преобразование – “освобождение малоизвестного из-под символа корня”, в большинстве случаев пребывающее в возведении обеих частей уравнения в однообразную чтепень. Нужно довести до понимания обучающихся обстоятельства вероятного появления наряду с этим посторонних корней. Они появляются при возведении в четную степень, т.к. приобретаемое наряду с этим уравнение – логическое следствие данного, но возможно и неравносильным ему.
Н-р, уравнение
=х-2 имеет один корень х=4, а уравнение х=(х-2)? имеет два корня х=1, х=4; первый из них есть корнем уравнения
=-(х-2).
Помимо этого посторонние корни смогут показаться при переходе к выражениям с большей областью определения. Н-р, область определения уравнения
=
складывается из чисел х?
, при возведении в квадрат обеих его частей получается уравнение, определнное при всех значениях х, и из двух его корней х1=-2, х2=10 лишь второй – корень исходного уравнения.
При ответе таких уравнений вероятны два пути. Первый пребывает в переходе от уравнения к его проверке и следствию корней взятого уравнения подстановкой в исходное. Второй – применение равносильных преобразований, но наряду с этим приходится переходить к совокупностям, пр-р:
=g(x)
кроме этого существует еще схема одного вида иррациональных уравнений:
=
При ответе иррациональных неравенств, так же как и при ответе иррациональных уравнений, громадную роль играется определение ОДЗ, но особенно значительно предварительное изучение знаков двух частей неравенства. Т.к. при ответе иррациональных неравенств, как неравенств по большому счету, проверка неосуществима, то все преобразования должны быть равносильными.
Главным способом ответа иррациональных неравенств есть способ сведения исходного неравенства к равносильной совокупности либо к совокупности совокупностей иррациональных неравенств.
1.
2.
3.
4.
При ответе иррациональных уравнений (неравенств) полезно перед возведением обеих частей уравнения в некую степень «уединить радикал» (способ уединения радикала). Либо применить способ замены переменных и перейти к ответу рационального уравнения (неравенства).
Последовательность изучения иррациональных уравнений:
1.
=а; 2.
=g(x); 3.
+f(x)=a; 4.
+
=а. (3 и 4 вид решаются лишь в классах с углубленным изучением математики) Рассматриваются корни второй, третьей степени, четвертой степени, решаемые способом замены переменных.
Иррациональные неравенства рассматриваются видов:
;
;
;
(3 и 4 вид решаются лишь в классах с углубленным изучением математики).
В книжке М.И.Башмакова «начала и Алгебра анализа 10-11 кл» в § «Уравнения с одним малоизвестным» в пункте: «Примеры ответа уравнений» разобран детально один пример ответа иррационального уравнения (
); в §: «Неравенства с одним малоизвестным» в пункте: «Примеры ответа неравенств» разобран детально один пример (
). Тут нет отдельной темы.
В книжке А.Н.Колмогрова и др. в главе: „Показательная и логарифмическая функции представлены неспециализированные понятия степени, где дается определение иррациональных уравнений: «Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, именуют иррациональными» и детально рассмотрены семь иррациональных уравнений, кроме этого в главе* «Задачи на повторение» в параграфе: «Уравнения, неравенства, неравенств и системы уравнений» для неравенств и иррациональных уравнений раздельно выделены упражнения.
И, наконец, в книжке С.М.Никольского и др. представлена глава с широким материалом: «Уравнения. Неравенства. Совокупности», где в каждом восьми параграфе рассмотрены разные методы ответа более сложных неравенств и иррациональных уравнений.
Разглядим количество практических задач по исследуемой теме:
| Авторы книжек | Иррациональные уравнения | Задачи на повторение | Иррациональные неравенства | Задачи на повторение |
| А.Н. Колмогоров | ||||
| М.И.Башмаков | — | — | ||
| С.М.Никольский | ||||
По книжке М.И.Башмакова ученик может самостоятельно трудиться с дополнительной литературой по теме „неравенства и Иррациональные уравнения. По, книжке А.Н.Колмогорова и др. ученик может самостоятельно трудиться по теме „Иррациональные уравнения, так как в данном книжке детально рассматриваются примеры, а по теме „Иррациональные неравенства ученику нужна дополнительная литература. Наконец, по книжке СМ.Никольского и др. по теме „неравенства и Иррациональные уравнения ученик может самостоятельно трудиться, поскольку эта тема самый детально рассматривается.
Главные способы ответа иррациональных уравнений. Алгебра 10-11 классы. 26 урок
