Геометрический смысл производной

Определение

Средней скоростью изменения функции

Геометрический смысл производной

при переходе независимой переменной от значения

Геометрический смысл производной

к значению

Геометрический смысл производной

называется отношение приращения

Геометрический смысл производной

функции к приращению

Геометрический смысл производной

независимой переменной, то есть

Геометрический смысл производной

Определение

Истинной или мгновенной скоростью изменения функции

Геометрический смысл производной

при заданном значении независимой переменной

Геометрический смысл производной

называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента

Геометрический смысл производной

:

Геометрический смысл производной

Механический смысл производной

Теорема

(Механический смысл производной)

Пусть задан путь

Геометрический смысл производной

движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени

Геометрический смысл производной

есть производная от пути

Геометрический смысл производной

по времени

Геометрический смысл производной

:

Геометрический смысл производной

Пример

Задание. Тело движется прямолинейно по закону

Геометрический смысл производной

(м). Определить скорость его движения в момент

Геометрический смысл производной

с.

Решение. Искомая скорость — это производная от пути, то есть

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

В заданный момент времени

Геометрический смысл производной

(м/с).

Ответ.

Геометрический смысл производной

(м/с).

Геометрический смысл производной

Производная функции

Геометрический смысл производной

, вычисленная при заданном значении

Геометрический смысл производной

, равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси

Геометрический смысл производной

и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой

Геометрический смысл производной

:

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Замечание

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции

Геометрический смысл производной

в точке

Геометрический смысл производной

.

Геометрический смысл производной

Пример

Задание. На рисунке №1 изображен график функции

Геометрический смысл производной

и касательная к нему в точке с абсциссой

Геометрический смысл производной

. Найти значение

Геометрический смысл производной

.

Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что

Геометрический смысл производной

Найдем угол

Геометрический смысл производной

. Рассмотрим треугольник

Геометрический смысл производной

— прямоугольный, равнобедренный. Тогда

Геометрический смысл производной

, а значит

Геометрический смысл производной

А отсюда следует, что

Геометрический смысл производной

Ответ.

Геометрический смысл производной

03. Геометрический смысл производной


Похожие статьи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: