Определение
Средней скоростью изменения функции
при переходе независимой переменной от значения
к значению
называется отношение приращения
функции к приращению
независимой переменной, то есть
Определение
Истинной или мгновенной скоростью изменения функции
при заданном значении независимой переменной
называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента
:
Механический смысл производной
Теорема
(Механический смысл производной)
Пусть задан путь
движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени
есть производная от пути
по времени
:
Пример
Задание. Тело движется прямолинейно по закону
(м). Определить скорость его движения в момент
с.
Решение. Искомая скорость — это производная от пути, то есть
В заданный момент времени
(м/с).
Ответ.
(м/с).
Геометрический смысл производной
Производная функции
, вычисленная при заданном значении
, равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси
и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой
:
Замечание
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции
в точке
.
Пример
Задание. На рисунке №1 изображен график функции
и касательная к нему в точке с абсциссой
. Найти значение
.
Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что
Найдем угол
. Рассмотрим треугольник
— прямоугольный, равнобедренный. Тогда
, а значит
А отсюда следует, что
Ответ.
03. Геометрический смысл производной