Существует три формы комплексного числа, поскольку разные операции над комплексными числами эргономичнее проводить с разными формами.
1. Алгебраическая форма:
.
Пример 1. Отыскать настоящую и мнимую части, модуль, довод комплексного числа
, сопряженное к нему и изобразить
и
на комплексной плоскости.
Ответ.
Настоящая и мнимая части:
,
.
Модуль:
.
Довод:
Сопряженное к z равняется
, тогда, в случае если
, то сопряженное к нему равняется
.
Комплексному числу
соответствует вектор
, комплексному числу
соответствует вектор
, z и
изображены на рис.2.
2. Тригонометрическая форма:
.
Из рисунка 3 видно, что
.
В случае если подставить эти выражения в алгебраическую форму, то окажется комплексное число в тригонометрической форме:
=
.
Пример 2.Представить в алгебраической форме комплексное число
. Отыскать к нему сопряженное.
Ответ.
, из этого
.
либо, что одно да и то же
.
3. Показательная форма:
Применяя формулу Эйлера:
,
комплексное число
возможно записать в так называемой показательной форме:
z =
Примеры.
Пример 3.Представить в показательной форме комплексное число
. Записать к нему сопряженное, отыскать модуль.
Ответ.
, из этого
, тогда
, r = 4.
Пример 4. Дано комплексное число
. Записать его в трех формах.
Ответ.
Алгебраическая форма комплексного числа:
.
,
.
Тригонометрическая форма комплексного числа:
.
Показательная форма комплексного числа:
.
Определение 8.Уравнение
определяет на плоскости Гаусса окружность с центром в точке О и радиусом, равным а.
Пояснение:
– уравнение окружности.
Определение 9.Уравнение
определяет на комплексной плоскости окружность с центром в точке
и радиусом, равным а.
Пояснение:
– уравнение окружности с центром в точке
и радиусом, равным а.
Замечание.Неравенство
(
) определяет множество точек верхней полуплоскости.
Неравенство
(
) определяет множество точек нижней полуплоскости.
Неравенство
(x 0) определяет множество точек правой полуплоскости.
Неравенство
(x 0) определяет множество точек левой полуплоскости.
Пример 5. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, задаваемых условиями 1)
, 2)
, 3)
, 4)
5)
Ответ.
1)
– окружность с центром в точке О и радиусом равным 2 (рис. 4).
2)
– окружность с центром в точке i и радиусом равным 1. (рис. 5).
Тригонометрическая форма комплексного числа
