1) Отметим, что суперпозицию двух и более функций мы именуем кроме этого сложной функцией.
Теорема.Пускай функция
выяснена на промежутке
, а функция
выяснена на промежутке
, причем
. Тогда в случае если функция
дифференцируема в точке
, а функция
дифференцируема в точке
, то сложная функция
дифференцируема в точке
и
|
(1) |
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу дифференцируемости функций
и
, соответственно, в точках
и
, имеем
 
|
(2) |
и
 
|
(3) |
Как мы знаем
, |
(4) |
где
, причем без ущерба для общности можно считать, что
, другими словами можно считать, что функция
постоянна в точке
.
Из (3) и (4) направляться, что
Подставляя ко мне
,
и применяя после этого равенство (2), возьмём
и, следовательно,
|
(5) |
Потому, что функция
постоянна в точке
, а функция
постоянна в точке
и
, то по теореме о непрерывности сложной функции
.
А так как, помимо этого,
то из (5) направляться, что существует конечная производная
и имеет место равенство (1). Для завершения доказательства теоремы остается отыскать в памяти, что существование конечной производной
равносильно дифференцируемости функции
в точке
.
Замечание. Пускай выполнены условия теоремы. Тогда по определению дифференциала
|
(6) |
И, в силу равенства (1), для сложной функции будем иметь
либо
|
(7) |
Полагая точку
произвольной (другими словами заменяя
на произвольное
). Равенства (6) и (7) записывают в виде
|
(6¢) |
|
(7¢) |
Эти формулы говорят о том, что формально вид дифференциала не изменяется как при записи его через свободную переменную
, так и при записи через зависимую переменную . В этом состоит, так именуемое, свойство инвариантности дифференциала, что именуют кроме этого первым дифференциалом.
Дифференцирование сложной функции. Тема
